Mécanisme paradoxal‍

‍‍I. I. Arto­bo­levski, N. I. Levitski.. Méca­nismes de Tche­by­chev / Dans: Héri­tage scien­ti­fique de P. L. Tche­by­chev. Fasc. 2. Théo­rie des méca­nismes. — Mos­cou-Lénin­grad: AS URSS. 1945. P. 30–32. (En russe)

‍‍I. I. Arto­bo­levski, N. I. Levitski.. Modèles des méca­nismes de P. L. Tche­by­chev / Dans: Œuvres com­plètes de P. L. Tche­by­chev. Tome IV. Théo­rie des méca­nismes. — Mos­cou-Lénin­grad: AS URSS. 1948. P. 215–217. (En russe)

Quelles images peuvent être réa­li­sées par l’appli­ca­tion repré­sen­tée dans la figure, avec une char­nière fixe (rouge)?

Lais­sons que la char­nière marquée en gris glisse le long d’une courbe, symé­trique par rap­port à une droite pas­sant par la char­nière fixe. On peut mon­trer que dans ce cas aussi la trajec­toire de la char­nière en bleu sera symé­trique par rap­port à une droite pas­sant par la char­nière fixe. Le mathé­ma­ti­cien russe Paf­nu­tiy Lvo­vitch Tche­by­shev se posa le pro­blème de trou­ver quelle est cette trajec­toire.

Un cas par­ti­cu­lier et impor­tant se pro­duit lorsque la trajec­toire en gris est un cercle. Dans la pra­tique, on obtient cela en ajou­tant une autre char­nière fixe (rouge) et une barre de gui­dage d’une cer­taine lon­gueur.

Pour la trajec­toire en bleu, il ya deux cas impor­tants: quand c’est un seg­ment de droite, et quand c’est un cercle, ou un arc de cercle.Tche­by­shev écrit: «Ici, nous allons exa­mi­ner les cas les plus simples, et aussi plus fré­quent dans la pra­tique, pré­ci­sé­ment lorsque on veut se dépla­cer le long d’une courbe, dont une par­tie, plus ou moins impor­tante, dif­fère peu d’un arc ou d’une ligne droite».

Juste pour trou­ver les meilleurs para­mètres de ce méca­nisme qui résout les pro­blèmes énu­mé­rés, Tche­by­shev appliqua pour la pre­mière fois la théo­rie de l’approxi­ma­tion des fonc­tions, qu’ il avait lui–même déve­lop­pée en étu­diant le paral­lé­lo­gramme de Watt.

En choi­sis­sant de façon appro­priée la dis­tance entre les char­nières fixes, la lon­gueur de la barre de gui­dage, et l’angle entre les deux barres, Tche­by­shev obtint une trajec­toire fer­mée, qui s’éloigne peu d’un seg­ment de droite. L’écart par rap­port à une trajec­toire rec­ti­ligne peut être dimi­nué en chan­geant les para­mètres du méca­nisme. Cepen­dant, ce chan­ge­ment des para­mètres va aussi conduire à une dimi­nu­tion de la lon­gueur de la trajec­toire tra­cée par la char­nière en bleu. Puisque cette dimi­nu­tion est moins rapide que la dimi­nu­tion de l’écart du seg­ment rec­ti­ligne, dans les pro­blèmes pra­tiques on peut toujours trou­ver des para­mètres satis­fai­sants. Ceci est seule­ment un des méca­nismes à char­nières pour tra­cer approxi­ma­ti­ve­ment des seg­ments de droite, qui ont été pro­po­sés par Tche­by­shev.

Consi­dé­rons main­te­nant le au cas où la courbe bleue est un cercle.

Lorsque les barres sont sur la même ligne, notre méca­nisme est simi­laire à la lettre grecque «lambda». Tche­by­shev l’avait uti­lisé avec des para­mètres appro­priés pour construire la pre­mière «machine plan­ti­grade». Dans ce cas, la courbe bleue res­semble au cha­peau d’un cham­pi­gnon. En choi­sis­sant dif­fé­rem­ment les para­mètres du méca­nisme, on peut obte­nir une trajec­toire qui est tan­gente à deux cercles concen­triques alter­na­ti­ve­ment, en res­tant tout le temps entre un et l’autre. En chan­geant les para­mètres du méca­nisme, on peut réduire la dis­tance entre ces cercles concen­triques, entre lesquels la trajec­toire bleu se trouve.

Pour ter­mi­ner la construc­tion du méca­nisme à lambda, nous ajou­tons une char­nière fixe et deux barres, dont la somme des lon­gueurs est égale au rayon du cercle plus grand, et la dif­fé­rence au rayon du cercle plus petit.

L’appa­reil qui en résulte a des points de bifur­ca­tion, ou, en d’autres termes, des points sin­gu­liers. Lorsqu’on se trouve dans un de ces points, par le mou­ve­ment même du méca­nisme dans le sens des aiguille d’une montre, les bars ajou­tées com­mencent à tour­ner à la fois dans le sens des aiguilles d’une montre, à la fois dans le sens inverse. De ces points de bifur­ca­tion notre méca­nisme en pos­sède exac­te­ment six, lorsque les barres ajou­tées se trouvent sur la même ligne droite.

Il existe un domaine impor­tant des mathé­ma­tiques — la théo­rie des sin­gu­la­ri­tés — à savoir, l’étude d’un objet à tra­vers l’ana­lyse de ses points sin­gu­liers. Un cas par­ti­cu­lier très simple c’est l’étude du com­por­te­ment des fonc­tions à tra­vers l’ana­lyse de leurs points de maxi­mum et de mini­mum.

Pour que notre méca­nisme passe à tra­vers les six points sin­gu­liers dans un sens choisi au début, la barre petite est relié à un volant, qui, tour­nant dans ce sens, guide le méca­nisme à tour­ner dans le même sens à tous les points sin­gu­liers.

Si le volant, ainsi que la barre, est déplacé du point de bifur­ca­tion dans les sens des aiguilles d’une montre, à chaque tour de la barre de gui­dage le volant fera deux tours.

Si au contraire le volant est déplacé du point de bifur­ca­tion dans les sens inverse des aiguilles d’une montre, à chaque tour de la barre de gui­dage le volant fera quatre tours!

C’est là que le para­doxe de ce méca­nisme, inventé et fabriqué par Paf­nuty Che­by­shev, réside. Il sem­ble­rait qu’un méca­nisme doit fonc­tion­ner d’une façon unique, cepen­dant , comme nous l’avons vu, n’est pas toujours le cas. Et la rai­son c’est la pré­sence de points sin­gu­liers.